Heinrich war das fünfte von zwölf Kindern der Eltern Johannes Amsinck (1792-1879) und Emilie, geb. Gossler (1799-1875). Einer seiner Brüder war Gustav (1834-1909).

Die väterliche Firma Johannes Schuback & Söhne betrieb typische Merchant-Bank-Geschäfte; entsprechend verlief die Ausbildung Heinrich Amsincks. Der Lehrzeit im väterlichen Geschäft folgte ein zweijähriger Aufenthalt in Boston bei der Firma Gossler & Knorre, einer Gründung seines Onkels. Nach seiner Rückkehr trat er am 1. Januar 1849 als Prokurist in die Firma Johannes Schuback & Söhne ein, im Dezember 1952 wurde er Bürger und im Januar des darauffolgenden Jahres Teilhaber der väterlichen Firma. Ab September 1879 führte er nach dem Tod seines Vaters das Im-, Export- und Bank-Geschäft zusammen mit seinem Bruder Wilhelm Amsinck als alleinige Inhaber weiter. Am 31. Dezember 1860 wählte ihn die Versammlung Eines Ehrbaren Kaufmanns zum Mitglied der Commerzdeputation. Als Vertreter dieser Deputation war er von 1860 bis 1863 Mitglied der Bürgerschaft und der Maklerordnung. Der Deputation für Handel und Schifffahrt und der Auswandererbehörde gehörte er von 1861 bis 1864 an, der Bankdeputation 1863. In das Jahr seines Präsidiats vom 1. Januar bis 31. Dezember 1864 fiel seine Wahl vom 7. Dezember in die Finanzdeputation. Diese Wahl bedeutete das vorzeitige Ende seiner Arbeit in der Handelskammer.

Heinrich Amsinck heiratete in Hamburg am 24. Mai 1854 Ida Wilhelmine, geb. Heeren (1833-1898), mit der er fünf Kinder hatte.