Arnold Heinrich war das siebte von acht Kindern der Eltern Martin Garlieb Amsinck (1831-1905) und Susanne Catharine, geb. Gossler (1835-1901).

Als Vorsitzender des Vorstands der Woermann-Linie AG und der Deutschen Ostafrika-Linie widmete er sich, wie seine Vorfahren, der Entwicklung der deutschen Schifffahrt. Nach mehrjährigem Aufenthalt in Chile und Bolivien trat er in die Segelschiffsreederei seines Vaters ein. 1901 wurde er auf Wunsch Adolph Woermanns als Nachfolger seines Schwiegervaters J.F. Bohlen Mitinhaber der Firma C. Woermann. In dieser Funktion widmete er sich vor allem den Geschäften der Woermann-Linie, mehrere Reisen führten ihn nach Afrika und Nordamerika. Nach der Trennung der Firma C. Woermann von den afrikanischen Dampferlinien am 1. Juni 1916 übernahm Amsinck den Vorsitz der beiden aus dem Stammhaus C. Woermann hervorgegangenen Unternehmen Woermann-Linie AG und Deutsche Ost-Afrika-Linie.

Er war in Hamburg General-Konsul des Kongo-Staates. 1932 übernahm er den Vorsitz der Seeberufsgenossenschaft.

Arnold Heinrich Amsinck heiratete in Hamburg am 14. September 1898 Thekla Aline, geb. Bohlen (1879-1933), mit der er vier Kinder hatte.