Max Albrecht entstammte einer deutsch- jüdischen Kaufmanns- und später Juristenfamilie. Er studierte Chemie in Halle und wurde dort 1871 zum Dr. phil. promoviert. Anschließend arbeitete er in der sächsischen Braunkohlenindustrie. 1874 ging er ins böhmische Aussig, um die Leitung einer von ihm entworfenen Fabrik zur Verarbeitung galizischen Erdwachses zu übernehmen. Bereits drei Jahre später wurde er Teilhaber der Firma A. Oehlrich & Co. in Riga, die Wagenfette herstellte. In den folgenden Jahren errichtete er Mineralschmieröl-Raffinerien in Riga, Baku und 1884 in Hamburg. 1891 trat Albrecht aus der Rigaschen Firma aus und übernahm die Fabriken in Baku und Hamburg sowie die Reservoiranlagen und Abfüllstation in Batum auf alleinige Rechnung unter der Firma Mineralölwerke Alb- recht & Co. KG. Albrecht setzte für regelmäßige Fahrten zwischen Batum und Hamburg den Tankdampfer „Bakuin“ ein und wirkte damit auf diesem Gebiet der Schifffahrt bahnbrechend. Nach dem ersten Weltkrieg richtete er den Fokus auf die Verarbeitung amerikanischen Rohöls in Duisburg und Mannheim. Neben seiner Tätigkeit als Unternehmer verfasste Albrecht zahlreiche wissenschaftliche Schriften. Er war Vorsitzender des von ihm gegründeten Reichserdölverbandes. 1911 stiftete er das Hamburger Säuglingsheim. Von 1911 bis 1925 hatte er den Vorsitz des Kunstvereins inne. Der Hamburgischen Bürgerschaft gehörte er von 1900 bis 1919 an, und zwar als Mitglied der Fraktion der Rechten.